牛顿迭代法（Newton’s method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法。假设 r 是 f(x)=0 的一个根，我们随便选择一个值 x_0，过点 (x_0，f(x_0)) 做曲线 f(x) 的切线 L1 ，那么 L1 的斜率就是 f'(x_0) ，如下图所示：
假设一个曲线的函数是 f(x) ，过点 (x_0，f(x_0)) 做曲线 f(x) 的切线为 L1 ，那么 L1 与 x 轴的交点为 x_1 ，我们来计算一下 x_1 的值。
通过上面的计算我们知道，切线 L1 与 X 轴的交点为 x_1=x_0-f(x_0)/f'(x_0) ；然后我们再以 x_1 为横坐标，过点 ( x_1，f( x_1)) 做曲线 f(x) 的切线 L2 ，通过计算我们可以得到 L2 与 x 轴的交点 x_2=x_1-f(x_1)/f'(x_1)，我们继续过点 (x_2，f(x_2)) 再做切线 …… ，一直这样重复下去，计算的次数越多 x_n 就越接近 f(x)=0 的一个解。
假设我们需要求数字 num 的一个平方根，令 f(x)=x^2-num，对 f(x) 求导，得到 f'(x)=2*x ；代入上面公式可以得到 x1=x-(x^2-num)/2x ，整理得到 x1=(x+num/x)/2 ，这个就是牛顿迭代法手动开根公式，假设 num 等于 2 ，我们来看下求更号 2 该怎么计算，刚开始的时候我们会随便选择一个数字 x_0 ，假设选的很离谱比如 10 ，来看下计算结果：
第1次：x0=10，计算x1=(10+2/10)/2=5.1
第2次：x1=5.1，计算x2=(5.1+2/5.1)/2=2.746078431372549
第3次：x2=2.746078431372549，计算x3=1.7371948743795984
第4次：x3=1.7371948743795984，计算x4=1.4442380948662321
第5次：x4=1.4442380948662321，计算x5=1.4145256551487377
第6次：x5=1.4145256551487377，计算x6=1.4142135968022693
第7次：x6=1.4142135968022693，计算x7=1.4142135623730954
我们知道 2 的平方根是 1.4142135623730951 ，当计算到第 7 次的时候就已经非常接近了，所以即使刚开始选的数字很离谱，经过几次计算之后，结果也是非常接近答案的，下面来看下代码。
/**
* @param num 求数字num的平方根，
* @param count 循环的次数
* @return
*/
public static double sqrt(double num, int count) {
double res = 10;
for (int i = 0; i < count; i++)
res = (res + num / res) / 2;
return res;
}
来举几个例子测试下。
public static void main(String[] args) {
double num = 10;// 计算10的平方根
System.out.println("官方计算的结果：" + num + "的平方根是" + Math.sqrt(num));
System.out.println("我们计算的结果：" + num + "的平方根是" + sqrt(num, 10));
System.out.println();
num = 13.75;// 计算13.75的平方根
System.out.println("官方计算的结果：" + num + "的平方根是" + Math.sqrt(num));
System.out.println("我们计算的结果：" + num + "的平方根是" + sqrt(num, 10));
}
看一下运行结果：
官方计算的结果：10.0的平方根是3.1622776601683795
我们计算的结果：10.0的平方根是3.162277660168379
官方计算的结果：13.75的平方根是3.7080992435478315
我们计算的结果：13.75的平方根是3.7080992435478315
